概率论专家Vladimir Vatutin教授访问西电开展学术交流

讲述分枝过程的背景、应用及理论（二）（三） 

西电新闻网讯（通讯员 董从造）5月11日，由数学与统计学院主办的“分枝过程及其应用系列讲座”第二场在信远楼206报告厅举行，讲授专家为概率论国际知名专家、俄罗斯科学院Steklov数学研究所的Vladimir Vatutin教授。本次报告的主要内容是Galton-Watson分枝过程的极限理论。为表述方便，任何一个物种的个体都称之——“粒子”，粒子所在“代”别表示它所生活的时间。分别考虑分枝过程存活概率的极限行为，在分枝过程存活的条件下，粒子总数的极限行为和到过程灭绝为止所有粒子总数的均值。

Vatutin教授从一个具体的几何分布出发阐述在后代均值A不同时，过程存活的概率的显式表示。进而推导一般分布下，过程的极限行为。在后代均值小于1，即下临界情形，过程存活的概率与过程的平均值成正比等价于后代粒子数满足一个对数型的约束条件，且可以求出在过程存活的条件下，粒子总数分布的极限。在临界情形（A=1），Vatutin教授导出过程粒子数代数平均值的傅里叶变换的极限。当A>1时，即上临界，要想得到非退化极限，Vatutin教授指出此时过程的尺度变换只有唯一一种可能。

接下来，Vatutin教授给出了分枝过程在聚合酶链式反应（PCR）中的应用。PCR是现代分子生物学中一个非常重要的工具，它的特点是可以利用很小片段的DNA信息通过迭代获得更多的信息，易于发现病毒和变异，常被用于疑难案件审理及基因检测等。而PCR中随着温度变化而发生的分裂与聚合可以看成是二分枝的Galton-Watson分枝过程。

对于上临界的分枝（A>1），Vatutin教授讲解了一个非常反直观的结论：如果已知上临界分枝过程迟早会灭绝（第一讲说明了上临界分枝过程有一个正概率会灭绝），那么到灭绝时刻为止所有产生的粒子的总数的均值（即所有代别粒子的数量和的数学期望）并非是先指数级增长再剧烈减少，而是随着后代均值A的增加不断减小且趋于1，即单调递减地稳定于1。

本次讲座的最后一部分内容是所谓缩减过程（Reduced Processes），它被用于计算某时刻一个物种的公共的最近的祖先所生活的时间。考虑Galton-Watson分枝过程，定义一个新的过程，它表示从某时刻所有活着的粒子出发开始往回追溯到它们共同的最近的祖先的年代，这个年代是一个随机变量，利用这个随机变量可以定义某时刻所有活着粒子到它们共同最近祖先的距离（即“代”数）。Vatutin教授分别给出上临界、临界、下临界三种情形下缩减过程的条件概率母函数的极限，进而导出到共同最近祖先距离的条件分布。

5月12日，由数学与统计学院主办的“分枝过程及其应用系列讲座”第三场在信远楼206报告厅举行，讲授专家为概率论国际知名专家、俄罗斯科学院Steklov数学研究所的Vladimir Vatutin教授。本次讲座的主要内容是连续时间马尔可夫过程，简称连续时间马氏过程。

在Galton-Watson分枝过程的基础上，考虑粒子的寿命，假设寿命服从指数分布，此时粒子数量随时间变化就构成所谓连续时间分枝过程，也是连续时间马氏过程。

类似离散的情形，Vatutin教授首先给出基本的研究工具——概率母函数。通过用全概率公式和独立性假设可以导出概率母函数满足的一个积分演化方程，也称为Kolmogorov倒向方程。解方程后，求出过程的均值，进而将过程分为上临界、临界和下临界。随后Vatutin教授通过具体的例子，分别求出相应的概率母函数，并引进过程“爆炸”的概念及马氏过程爆炸的充要条件。离散情形的无条件和条件化极限理论都可以推广到连续情形。

报告的重点是由随机特征（random characteristics）导出的分枝过程。利用它可以计算排队系统的平均服务时间和平均服务数量。随机特征是一个关于时间的随机过程，表示粒子在死亡时刻产生后代的同时还产生的其它量。而随着时间累积的随机特征之和即称为由随机特征导出的分枝过程。通过后代分布和随机特征的联合概率密度函数，以及连续时间马氏过程和相应随机特征导出的分枝过程的联合概率密度函数，可以求出随机特征和随机特征导出的分枝过程各自的均值函数。

考虑一个只有一个服务窗口的排队系统，假设顾客的到来是一个泊松流，且排队的人数可以无限多。该系统按照先来先服务的原则对顾客进行服务，每位顾客被服务的时间独立同分布。则可以把排队系统看成是一个由随机特征导出的分枝过程，进而求出系统的平均繁忙时间和被服务的平均顾客数。

报告结束后，不少感兴趣的老师、学生都积极向Vatutin教授请教和进行交流。

感谢国际交流合作处和国家自然科学基金面上项目（No. 11471254）对本次活动的资助。 

人物简介： 

Vladimir Vatutin教授1974年取得莫斯科Lomonosov国立大学学士学位；1977、1987年在俄罗斯科学院Steklov数学研究所分别获得硕士学位和数学与物理学博士学位。Vatutin教授1988年获前苏联科学院数学突出成果奖，1988年至今为Steklov数学研究所杰出研究员。在Annals of Probability，Probability Theory and Related Fields，Stochastic Processes and their Applications等国际一流杂志上发表多篇论文，迄今发表文章160余篇，出版学术专著3部（Branching Processes, Random Walks, and Related Problems，Branching Bellman-Harris Processes，Branching Processes and their Applications）。在2014年国际数学家大会等大型国际会议上作几十场学术报告，得到美国、德国、法国、澳大利亚、瑞典等国家的科研资助。

曾任知名杂志Stochastic Processes and their Applications编委，现任Markov Processes and Related Fields，Theory of Probability and its Applications，Discrete Mathematics and Applications，Pliska Studia Mathematica Bulgarica等多个国际期刊的编委。